El Álgebra es la rama de la Matemática que utiliza letras y símbolos para representar cantidades y relaciones. Permite generalizar operaciones, resolver ecuaciones y modelar situaciones reales.
Una expresión algebraica está formada por números, letras y operaciones matemáticas.
3x + 5 2a² − 7b 5x³ + 2x − 1
Las letras representan variables cuyo valor puede cambiar.
Un monomio es una expresión algebraica formada por un único término.
| Monomio | Coeficiente | Parte literal |
|---|---|---|
| 5x² | 5 | x² |
| -3ab | -3 | ab |
| 7y | 7 | y |
Los polinomios están formados por la suma o resta de monomios.
P(x)=2x³−5x+4
En la sección Polinomios encontrarás un desarrollo completo de operaciones, división, Ruffini y factorización.
Los productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas que siguen reglas fijas y permiten simplificar cálculos.
| Producto | Resultado |
|---|---|
| (a+b)² | a²+2ab+b² |
| (a−b)² | a²−2ab+b² |
| (a+b)(a−b) | a²−b² |
(x+3)² = x²+6x+9
Factorizar consiste en expresar un polinomio como el producto de factores más simples.
Extraer el factor que se repite en todos los términos.
a²−b²=(a+b)(a−b)
Reconocer cuadrados de binomios.
Método para factorizar ciertos polinomios de grado mayor.
Una fracción algebraica es el cociente entre dos expresiones algebraicas.
3x ─── x+2
Las operaciones con fracciones algebraicas son similares a las fracciones numéricas, pero deben considerarse las restricciones del denominador.
Las potencias representan multiplicaciones repetidas de un mismo número o expresión.
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Producto | aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ |
| Cociente | aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ |
| Potencia de potencia | (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ |
| Potencia de un producto | (ab)ⁿ=aⁿbⁿ |
Los radicales representan raíces de números o expresiones algebraicas.
√25 = 5 ³√27 = 3
| Propiedad | Expresión |
|---|---|
| Producto | √ab = √a · √b |
| Cociente | √(a/b) = √a / √b |
Una ecuación de primer grado es una igualdad algebraica donde la incógnita tiene exponente 1.
ax+b=0
3x+5=20 3x=15 x=5
Las ecuaciones cuadráticas contienen una incógnita elevada al cuadrado.
ax²+bx+c=0
Su solución puede obtenerse mediante la fórmula general.
-b ± √(b²-4ac)
x = -----------------------
2a
x²-5x+6=0 (x-2)(x-3)=0 x=2 ó x=3
Un sistema de ecuaciones está formado por dos o más ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente.
x+y=8 2x-y=1
Pueden resolverse mediante sustitución, igualación, reducción o el método de Gauss.
📚 Si querés profundizar este tema, consultá la sección de Álgebra Lineal.
Una inecuación es una desigualdad algebraica.
2x+3>9
2x+3>9 2x>6 x>3
Al multiplicar o dividir ambos miembros por un número negativo, el signo de la desigualdad cambia de sentido.
El valor absoluto representa la distancia entre un número y el cero en la recta numérica.
|a|
| Expresión | Resultado |
|---|---|
| |5| | 5 |
| |−5| | 5 |
|x|=4 ↓ x=4 ó x=-4
2x + 7 = 19
Paso 1: Restar 7 en ambos miembros.
2x = 12
Paso 2: Dividir ambos miembros por 2.
x = 6
Verificación
2·6 + 7 = 19 ✓
| Concepto | Fórmula |
|---|---|
| Cuadrado de un binomio | (a+b)²=a²+2ab+b² |
| Diferencia de cuadrados | a²−b²=(a+b)(a−b) |
| Ecuación de primer grado | ax+b=0 |
| Ecuación cuadrática | ax²+bx+c=0 |
| Fórmula general | x=(-b±√(b²−4ac))/2a |
| Potencias | aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ |
| Radical | √(a²)=|a| |
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El Álgebra proporciona el lenguaje matemático necesario para expresar relaciones, resolver ecuaciones y modelar problemas de distintas disciplinas. Constituye la base para el estudio de funciones, cálculo, estadística, física, química e ingeniería.
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